五,借用钱学森-卡门虚拟气体法探求真空性质(质能关系)
既然希望利用空气动力学的一些方法,那么首先应当把质量和能量联系起来，首先用最粗旷的假设,把压力看成能量的一种量度,那么质量和能量之间的关系犹如理想气体的质量和压力一样的关系一样有:
dW/dρ = C2 <21>
其中W代表能量, ρ代表质量然而质量和能量之间的关系我们事先并不清楚,但是我们总可以假设W和ρ或者说1/ρ之间有一个单值关系,如果把这个关系用条曲线W = f(1/ρ)来代表.然后我们利用卡门_钱学森的切线近似假设,即在β=v/c <<1的情况下,这条函数曲线曲率变化也不大,所以作为一级近似,我们可以把过ρ1, W1 点的切线用来近似代表这条曲线,那么这条曲线的斜率是, d W/d (1/ρ) = f
’ = 常数,而f
’ = d W/d (1/ρ)=- ρ 2 dW/dρ,所以我们可以把此式的右边看成常数:ρ 2 dW/dρ = 常数 <22>
把21式代入22式得到,下式中下标0代表滞止状态,下标 ∞ 表示没有扰动时的状态,实际对应于流场无穷远处:
dw/d(1/ρ) =ρ 2 C 2 =ρ∞ 2 C∞ 2 = 常数 = ρ0 2 C 0 2 <23>
下面再考虑流动介质的欧拉方程:
dw = -ρVdV <24>
那么对方程24两边除以ρ,然后对两边从 W∞ 到 W 的积分就可以写成：
而又因为
<25>
所以就有了
考虑第六式中假设的关系 c 2*ρ 2 是个常数 可以提到积分号以外，于是上方程右边积分外边的部分可以写成c∞2*ρ∞2，于是右边就继续等于：
积分后两边分别得:
v 2 - v∞2 = -C∞2 *ρ∞2*(1/ρ2 -1/ρ∞2)= C 2 - C∞ 2
进一步,由于滞止时的速度 V0 = 0, 而我们假想这种静止滞止状态下光速对应值称之为C0,同样道理,就有: v 2 = C 2
– C0 2把此式两边同时除以C 2,得到: V 2/C 2= 1-(C0/C) 2 = 1 - (ρ/ρ0) 2
改写一下,于是我们从另一条路,得到了和相对论相同的质能关系. ρ系静止质量,ρ0系表征能量的总质量其关系为:
值得指出的是, 得到的质能关系是沿着扩大了的连续介质方程的可压缩性(扩大了的麦克思维尔方程)走下来的.它的结果在v/c<<1时和相对论的结果相容.