美国AIAA Peper 99-0562 发表宇航工程师,AIAA会员Paul A.Murad也发表文章提出用粘性流体方程消除相对论比表达是里面的奇点,并把质能关系延拖到超光速领域,NS 方程的一般表的形式为:
¶ f/ ¶ t + ¶ Fx/ ¶ x + ¶ Gy/ ¶ y = ¶ Hx/ ¶ x +¶ Hy/ ¶ y ................
其中符号¶ ( ) 表示偏微分.里面含有(1-β 2) 刚好是爱因斯坦的质能关系和洛伦兹变换因子,假设真空还是有物质存在,并且近似满足纳维尔斯托克斯方程,如果能够从他里面把(1-β 2)提取出来,就造成了新的相对论方程,但是可以包括超光速.他假设提取因子後的'势矢量'为
f, 于是从上面的NS方程可以定义:(1-β 2)/ μ * ¶f/
¶ x = Fx-Hx; 1/μ * ¶ f/ ¶ y = Gy-Hy;这里β=v∞/C, 而μ是个积分因子.
把
f的定义带入NS方程得:¶ f/ ¶ t + (1-β2) * ¶ [¶
f/ ¶ x/μ]/ ¶ x + ¶ [¶ f/ ¶ y/μ]/ ¶ y进一步写成
μ*¶ f/ ¶ t + [(1-β2) * ¶ 2
f/ ¶ x 2 + ¶ 2f/ ¶ y 2]=1/μ*[(1-β2) ¶ μ/
¶ x *¶ f/ ¶ x + ¶ μ/ ¶ y*¶ f/ ¶ y]对于定常流:
[(1-β2) * ¶ 2
f/ ¶ x 2 + ¶ 2f/ ¶ y 2]=1/μ*[(1-β2) ¶ μ/
¶ x *¶f/ ¶ x + ¶ μ/ ¶ y*¶ f/ ¶ y]把这种关系利用到涡动力学上,以便和电磁场的涡方程相联系,找出相同规律,从colloco's涡理论,基于不可压流涡动理论的基础上延拓出来.新的因子提出了建立在连续,动量,能量原始定义
基础上的广义可压缩旋涡矢量的定义.这样定义的广义涡采用
? 定义 ,写出来就是:μ*
x= μ [¶ (Fx-Hx)/ ¶ y -(1-β2) ¶ (Gy-Hy)/ ¶ x]=¶ μ/
¶ x*(Fx-Hx)- ¶ μ/ ¶ y *(1-β2)* ¶ (Gy-Hy)/ ¶ x特殊情况下无旋流动方程简化为:
μ [¶ (Fx-Hx)/
¶ y -(1-β2) ¶ (Gy-Hy)/ ¶ x]=0当涡在流场改变时其表达式变得复杂:
x’= [x [1], x [2], x [3], x [4]]; 且 x' = x/(1-β2)^(1/2)其中:
x [1]= ¶ ρu/ ¶ y - ¶ ρ v/ ¶ x' + u ¶ ρ/ ¶ y-v ¶ ρ/ ¶ x'ρ 是密度,当然可以验证,不可压流,涡强就是速度的旋度.后面以此用在电磁场理论中.可以看出Paul A.Murad的理论没有光速奇点,可以发展到超光速,显然paul已经注意到了相对论的质能关系转换因子和可压缩因子都是一回事情,已经开始从粘性流体方程着手,去提取这个因子,但是由于NS方程的复杂性,他也没有昨晚这个工作,只好把(1-β2)这个因子先除在矢量通量的外面,并且定义了可压缩流的广义漩涡,这是非常创新和独特的.ｐａｕｌ的推导过程，已经隐含着使得ＮＳ方程得到了 1－β2 的因子，但是，为了不突破相对论的框架，在最后还是使用了罗伦兹变换，实际上如前波动方程的分析中所述，可压缩波动方程用拟洛伦兹时空的不可压缩体系来描述的时候，自动就会引入尺缩和时间膨胀效应，(1－β2)这个因子实际上时可压缩因子(见杨文熊的证明).对于欧拉方程是存在的,这一部分的奇点效应会在变换中抵消掉.所以按作者的观点没有必要再引入洛伦兹变换.可惜NS方程的粘形项内部没有这个因子,线化后正如同Paul 所说,会得到一个非常复杂的表达,怎样对Maxwell方程进一步非线性化还几乎是一片未开垦的土地.