物理科学探疑-网友天空-宇宙观念-椭圆轨道的计算机计算与解析法对比

椭圆轨道的计算机计算与解析法对比

    计算机可精确地求解星球运动微分方程。本算法适用于用计算机求解N体问题的星球运动微分方程，其中N的大小主要取决于计算机的运行速度。本算法也能精确地确认万有引力公式本身和实际情况的相差程度。

    以上仅为计算机计算地球轨道的原理。实际上，每二分一次，从0到T时间范围内的dt数量将增加一倍，计算机计算的工作量也将增加一倍。由于计算机的计算速度有限，因此二分次数也是有限的。为提高计算精度，减少计算机的计算工作量，有一些标准化的方法（注1），在此不再熬述。

    由上述可知，计算机计算星球轨道主要有两个要点。一是列出递推式，二是确定误差范围的条件。
多体星球轨道计算举例见下页。

注释1：参见“计算机数值计算方法及程序设计”一书。该书由周煦编著。于2004年10月由机械工业出版社出版。

二．解析法

    地球的绕日运行可用刚体的定轴转动来表示，如图1-7所示。

    杆OA绕通过O点且垂直于图平面的轴以角速度ω转动，滑块M（即：地球）可沿OA杆运动。由于刚体OA杆是假想的，是没有质量的，因此，滑块M与OA杆之间是没有相互作用力的，也就是说，刚体只是跟踪滑块而并不影响其运动的。r轴为动坐标系，固定在刚体OA杆上。这样，根据理论力学中点的合成运动规律可知，滑块M的相对运动为沿OA杆的直线运动，其牵连运动为定轴转动。当牵连运动为定轴转动时，点的加速度合成定理为：

即：当牵连运动为定轴转动时，动点的绝对加速度等于它的牵连加速度，相对加速度和科氏加速度的矢量和。

    这样，地球的加速度就可分解为如图1-8所示。

    在图1-8中，定义垂直于r轴的方向为切向，沿r轴的方向为法向。由图1-8可得地球的切向和法向加速度为：

式中的r是地球在动坐标系r轴上的位置坐标，是标量。由（6）式得

对（15）进行积分求解（即：查积分表）得：
见下页

    在地球初始相对速度v_r0=0的情况下，按给定的初值，可由（17）式到（20）式这四个表达式来解出地球运动的椭圆轨道。（17）式可用计算机迭代求根法来解出r值,再根据解出r值由（18）式算出θ，然后按（19）式和（20）式解出地球坐标。计算机迭代求根法可参见注释1。由于r值是用迭代法求出，是一个有精度数字，因而按（18）式解出的θ也是一个有精度数字，也就是说，解出的θ是含有一定误差的，其误差大小取决于r的解算精度。

三．计算对比

    计算机解算星球轨道的准确性，在两体问题的情况下，可大致用解析法来进行核对。下面给定一组初值，对计算机和解析法的计算结果作一对比。初值如下：

    在上面的计算中，计算机解算时，设定1天的计算误差小于0.001米（即：沿x,y方向的计算误差）。在用解析法解算时，用迭代求根法解（17）式的r值时，设定迭代循环的误差小于0.00001米。

    上面的计算表明，计算时间为1天，也就是说，地球矢径r与x轴的夹角很小时，计算机法和解析法的偏差较大。这是因为解析法在角度很小时，其计算误差增大了。为什么这样说呢？因为在计算机解算时，降低计算机的解算精度，即把1天的计算误差设定为小于0.01米，此时，计算机法和解析法的偏差基本不变，而偏差值却落在了计算机设定的误差范围之内。

    大量的计算对比表明，在矢径r与x轴的夹角大于10度的情况下，两种算法的偏差，在r值计算精度大致相当时，是在计算机设定的误差范围之内。在角度小于10度的情况下，由于解析法的误差增大而使两种算法的偏差增大，在r值计算精度大致相当时，该偏差落在了计算设定的误差范围之外。
因此说，计算机解算星球轨道的算法是足够精确的，其计算的误差值是在计算机设定的误差范围之内。


作者：芦光耀
日期：2007年7月6日。
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