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空气动力方法在发展相对论中的应用

杨新铁 (西北工业大学503,翼型中心,西安710072)
赵双任(德国 慕尼黑comroad卫星定位所)

摘要   首先针对Navier-Stokes方程和Maxwell方程的相似关系一直缺少一个对应方程的问题分析了原因,借助于引入了非牛顿粘性流体的松弛效应,最后补充上了缺少的这个对应关系,使得不可压的Navier-stokes(后面简称NS)方程和Maxwell方程完全对应了起来.从而引起了利用粘性可压缩流体方程来进行对Maxwell方程进一步的非线性化的探讨.于是先从速势流动开始,研究空气动力学的可压缩波动方程的种种变换,找出一种拟洛伦兹时空变换使它变为不可压流的波动方程.说明了在声学波动方程的数学描述上,可压缩流和不可压缩流加上相对论时空变换只不过是相同客体的不同数学表达.后者是空间上二级精度,时间上一级精度.可压缩因子（１－β^２）将根据表达形式不同出现在可压缩流动方程的系数中或者不可压缩加时空变量变换的数学描述的时空伸缩延迟系数中．因为Maxwell方程的波动方程和不可压流是完全一样的，所以也期望上面得到的结论可以引伸到Maxwell方程的讨论中，

        为了探讨电磁场和引力场可能存在的介质规律.对于无粘可压缩流动,借助于卡门 - 钱学森在空气动力学中应用的切线虚拟气体法,得出了与质能关系类似的规律.对于可压缩粘性流体和电磁场方程的相同数学结构,作者还缺少明了的结果,但是美国宇航工程师Paul在AIAA　Paper99-2606,0562上所发表的平行的表达可以预先把可压缩因子提取到通量项的外面,给出了一种表象的处理方法，本文对Paul在对NS方程提取了可压缩因子以后，又重复引入洛伦兹变换是否必要的问题进行了讨论.尽管如此Paul给出的矢量通量漩涡表达方式是一种新描述，希望这种重新表达的力和漩涡的关系能够对引力场的研究以及对Maxwell方程组的强非线性化带来生机.

         关键词：NS方程,相对论,超光速,质能关系

        现在关心相对论的发展的人越来越多了.当我们站在伟大的相对论奠基者建立的丰富和优美的理论基础上的时候不能不回顾历史,发掘他们的足迹.首先让人想起的是麦克斯韦尔在结合法拉第的电力线理论和流体力学的场理论以及亥姆赫兹漩涡理论中作的优美描述.原来这些描述都是在无粘流动中建立的.多年来,流体方程组和Maxwell组的相似关系一直缺少一个对应方程组,就是引入了粘性也是如此.借助于引入了非牛顿粘性流体的松弛效应,可以补充上这个对应关系,从而使得不可压的Ns方程和Maxwell方程对应了起来.这就引起了利用粘性可压缩流体方程会对Maxwell方程更进一步的非线性化的兴趣.可以先从速势流动开始,研究空气动力学的可压缩波动方程的种种变换,找出一种拟洛伦兹时空变换使它变为不可压流的波动方程.这就说明了从声学波动方程的数学描述来看, 相对论变换加不可压缩流等于可压缩流.协变不变性以及所谓四维空间度规不变只不过是可压缩流体的不同数学表达.

        为了探讨电磁场和引力场可能存在的介质规律.对于无粘可压缩流动,我们还可以借助卡门 - 钱学森在空气动力学中应用的切线虚拟气体法,得出了与质能关系类似的规律.虽然对于可压缩粘性流体和电磁场方程的相同数学结构,还缺少明了的结果,但是美国宇航工程师Paul在AIAA Paper上所发表的平行的的表达,却给与了希望和引起讨论.即这种重新表达的力和漩涡的关系有可能对引力场的研究以及对Maxwell方程组的强非线性化带来生机.下面分六个部分来叙述这个想法.

        首先我们回顾以下这些熟知的事实.

        一牛顿流体框架内已经有三个Maxwell方程和流体力学方程相似,电动力学基本方程组是：

        其中ρ是电荷密度,E是电场强度，H 是磁场强度，m是磁导率， ε是电介常数，g是电导率。下面让我们在连续介质力学领域里寻找和它相类似的方程.

        由于电动力学方程组创始人Maxwell在建立他之初,就利用了流体力学的亥姆霍兹定律和法拉第的电力线理论,所以上面的方程1,2,4自然在流体力学方程组中有它的对应表达形式:

        对Maxwell方程组的1）式来说,在连续介质力学的类似表达,可以用涡的散度为零来对应:

         其中W是介质流场速度的旋度:

         对Maxwell方程组的4式可以类比重力场的守恒法则得到

         其中F是加速度，α是和万有引力有关的系数，ρ是质量密度。

        对Maxwell方程组的2式对应表达,，需要一个涡的变化也能产生力的旋度的表达形式，亥姆霍兹定律正是这样一个关系，对黏性流体可以通过考虑柯罗柯-兰姆形式的动量方程把亥姆霍兹定律写成更一般的形式，一般的牛顿流体动量方程为:

        对不可压流体,中间的这一项1/ρ▽(λ▽·V)为零.至此电动力学一共四个方程,我们已经找到了其中的三个在粘性流体力学中的对应形式.但是寻找最后一个(方程3)的对应形式却遇到了在牛顿流体框架内不可克服的困难.因而我们不得不考虑如何突破它

二,不得不放弃牛顿流体同构关系

        寻找方程3的对应方程遇到困难的原因是牛顿流体的线性假设所导致的.所以为了得到完全和电动力学一致的方程组而又不想引入刚体介质这样的约束,就应当考虑放开牛顿流体对应力应变率关系假设的限制，牛顿流体假设的要害是应力和应变率成线性关系。即主应力方向上表达式为:

其中a, b为常数，εii为应变率主应力方向张量元素。在这个假设中，缺乏我们所需要的应力和应变的非线性关系，显然这是牛顿流体假设所限定的.近年来非牛顿流体得到了长足的发展,使得我们可以考虑,如果我们利用考虑非牛顿流体的办法来放宽这个限定.现在我们可以选用最简单的一种非牛顿流体应力应变关系,这种非牛顿流体在无限小的时间间隔内应力和应变成线性相关的，这样无限小的时间间隔内主应力方向上表达式为:

其中ａ*，ｂ* 亦为常数，η_ii为应变张量元素，它代表流体内部名义上的位移应变的积累效应.所谓积累效应是指,在流体内部,应变并不可能永远保持下去, 由于分子的自由运动和湍流涡交换的作用,在流动的每一个微运动距离上产生的微应变都是要经过衰减的,然后叠加上新产生的应变.最后总的效应应当是这些不同位置上产生的应变又经过松驰衰减后的总和. 衰减模式可以采用最简单的一阶衰减,也就是指数衰减模式,对于稳定流动只有经过'一段相对长时间'的对这种衰减效应的积累以后,才能够得到真正的名义上的应变,从而利用它和应力相关的假设得出应力.由于这种非牛顿流体的模型是在牛顿流体概念上的延拓,所以对稳定的平直流动,从长时间平均的角度上来看,应当又回到牛顿流体的同构关系。

        我们可以用平行层流剪切运动来说明这个问题，在每一个距离微元ds上,在时间间隔内产生的应变是(其中V是X1,X2,X3和哑时间参数 的函数).用随时间在介质中任何瞬时产生的应变衰减的最简单的模型-指数衰减模型来处理，于是应变的实际值就应当是在整个路程上产生的应变的积累：

其中k为表示衰减快慢的常数.比如空气k就应当取比较大的值,说明它衰减的很快,而'流体'玻璃取比较小的值,衰减的很慢,k=0不衰减.

        引入非牛顿流体应力关系式<13>以后就可以从类似于方程<9>的非牛顿黏性流体动量方程的柯罗柯-兰姆形式得到:

        这个公式的物理意义是引力和流体内各种内力的时间变化率和涡强度的旋度成正比

三,两个不同领域物理现象的相似对比和物理意义

        现在我们终于可以把这两种不同的方程组按对应项写在下方了:

        上述的两个方程尽管有不同的地方,比如连续介质描述中在力的表示中增加了压力梯度,粘性和牵连惯性力的影响,但是它和电磁场的数学描述还是在形式上相似的.右面这个方程组的物理意义是，力的随时间变化产生介质的涡的环量，涡的脉动又可以生成力的环量。也就是说,电磁场中的磁场H和不可压缩流体力学中的涡是相似的，而电磁场中的电场强度和不可压缩连续介质场中的力地位是相同的。因此我们就会联想Maxwell方程是否可以有Navier-Stokes方程类似的性质.由于不可压NS方程还可以延拓到可压缩流动的NS方程,而可压缩的影响自然引入了(1-β²),那么我们是否可以考虑麦氏方程的类似可压缩性的延拓?在这一方面,尤其是在无粘性的欧拉方程以及速势方程和电磁场方程的相似性方面已经有很多人从不同角度做了工作.为了避免可压缩粘性流动的复杂性,我们可以用简单的用速度势表达的可压缩波动方程来进行分析,由于不可压缩流体介质的波动方程和电场用的波动方程形式都是一样的,所以从速度势表示的波动方程出发来进行分析的结果也可望用在相同数学结构的电场波动方程上.下面让我们来寻找可压缩性在方程结构方面的影响的表现的一些规律性.在这方面我们发现夏皮洛曾经早就作过工作,他在可压缩动力学与热力学一书中作过这样的论述,即有一种空气动力学里面不常用到的变换-洛伦兹变换,用它可以把线化的可压流波动方程变到不可压缩流动.也就是从声学上来看,线化的可压缩流的波动方程和不可压流波动方程加上相对论时空变换在数学上来说描述的是一个客体.但是经过严格的推演发现这个变换和严格的洛伦兹变换还在时间项上面有一点出入,后来夏皮洛在此书以后的版本中又删去了这一段.今天我们可以很容易用数学软件(maple)推出这个变换来,从形式上来看,它和洛伦兹变换相去不远的,在空间描述上有和洛伦兹变换相同的精度,时间描述上和洛伦兹变换相比是一阶精度,差别仅仅发生在时间项上面,好在时间方面还没有有利的试验能说明,这种区别,所以我们下面来详细讨论它,希望把它应用到全部方程组里面去.

四、可压缩流动中的波动方程等效于`声速不变原理'加上`拟洛伦兹时空关系'

         为简单起见,讨论采用无量纲形式,这样

其中β=v/c=马赫数,c式波动的速度,首先让我们利用待定系数的方法寻找一个时间空间的线性变换, 能够把把右边的可压缩流动方程变换到左边的不可压缩形式方程.另外还要补充两个条件:第一,这个变换对待不可压缩流(静止系统)要有罗仑兹变换尺缩的性质.第二它还要对不可压缩流动的时间膨胀的性质.按照这些给定的约束条件建立的方程,我们可以很容易用机器推理(maple6)求出这个变换的待求系数,于是得到其中合乎意义的变换如下:

        显然这个变换不可能是协变不变的,因为我们要把可压缩流动变换到不可压缩,方程形式必须改变,那么它就不可能是协变的,而协变不变性只能用在不可压波动方程之间的变换,亦即从达朗贝尔方程到达朗贝尔方程,这个把可压变到不可压,也就是把声速从可以超越变到不可超越的变换的逆变换为:

        我们不妨把这种变换称为拟洛伦兹变换.从空气动力学上看,把波动方程的时空变量采用拟洛伦兹变换,就可以把它变成一个在洛伦兹时空里面的不可压缩流的波动方程___达朗贝尔方程, 在这个相似变换里面,不可压波动方程的系数(1-β²)可以通过时间空间的(旋转)洛伦兹量换把它变换走,变换到时空关系里面去了,从而变出来一个标准的达朗贝尔方程(不可压流).

        这是一个非常有意思的事情, 他说明对可压缩流动的一个客体的数学描述,其(1-β²)的因子既可以在方程的导数项里面出现,也可以在时空的相对变换项里面出现,只不过是要看我们采用什么不同的数学系统来描述它.用可压缩方程描述客观的时候,(1-β²)的因子就出现方程的导数项里面,而用不可压方程来表示可压缩流动的时候,它就出现在相对时空变换里面,不论在何处,都可以把他看成可压缩性的影响因子,前者就形成了协变不变的一系列数学描述的框架,后者就是真实的迦里洛时空中的可压缩流动. 甚至同构的数学表述还不止这两种,比如我们还可以引入普朗特变换等等,这又是一种新的时空构架.

        这也就是说,我们常识所依赖的普通空间的可压缩流动的波动方程,和类似相对论空间的不可压波动方程,实际上是同样一回事情,起码他们的数学表述是一样的. 于是使人自然产生这样的想法,可压缩流动与不可压缩流动的相似变换关系,和电磁场波动方程以及它所遵循的时空变换关系,虽然看起来是相差很远两个领域的效应，但是有一样的数学描述.这里面有没有物理上的内在联系?既然电磁场波动方程和不可压流加上拟洛伦兹变换雷同,那么它是不是也隐含着一种带有可压缩性并且确立于实在的迦里洛空间的数学描述?更进一步,整个洛伦兹时空中的Maxwell方程组是否也和实际上迦里洛空间的可压缩粘性流体方程组有类似关系?能否借助空气动力学方法来探索Maxwell方程的这种强非线性化的表达形式?

五,亚光速下的质能关系

        既然希望利用空气动力学的一些方法,那么首先应当把质量和能量联系起来，首先用最粗旷的假设,把压力看成能量的一种量度,那么质量和能量之间的关系犹如理想气体的质量和压力一样的关系一样有:

下面再考虑流动介质的欧拉方程:

值得指出的是, 得到的质能关系是沿着扩大了的连续介质方程的可压缩性(扩大了的麦克思维尔方程)走下来的.它的结果在v/c<<1时和相对论的结果相容.

六.美国宇航专家也用粘流方程延拓相对论

        美国AIAA Peper 99-0562 发表宇航工程师,AIAA会员Paul A.Murad也发表文章提出用粘性流体方程消除相对论比表达是里面的奇点,并把质能关系延拖到超光速领域,NS 方程的一般表的形式为:

        把这种关系利用到涡动力学上,以便和电磁场的涡方程相联系,找出相同规律,从colloco's涡理论,基于不可压流涡动理论的基础上延拓出来.新的因子提出了建立在连续,动量,能量原始定义基础上的广义可压缩旋涡矢量的定义.这样定义的广义涡采用x 定义 ,写出来就是:

当涡在流场改变时其表达式变得复杂:

ρ 是密度,当然可以验证,不可压流,涡强就是速度的旋度.后面以此用在电磁场理论中.可以看出Paul A.Murad的理论没有光速奇点,可以发展到超光速,显然paul已经注意到了相对论的质能关系转换因子和可压缩因子都是一回事情,已经开始从粘性流体方程着手,去提取这个因子,但是由于NS方程的复杂性,他也没有昨晚这个工作,只好把(1－β²)这个因子先除在矢量通量的外面,并且定义了可压缩流的广义漩涡,这是非常创新和独特的.

    ｐａｕｌ的推导过程，已经隐含着使得ＮＳ方程得到了1－β²的因子，但是，为了不突破相对论的框架，在最后还是使用了罗伦兹变换，实际上如前波动方程的分析中所述，可压缩波动方程用拟洛伦兹时空的不可压缩体系来描述的时候，自动就会引入尺缩和时间膨胀效应，对于欧拉方程和ＮＳ方程尽管有(1－β²)这个因子存在,奇点效应会在变换中抵消掉.所以按作者的观点没有必要再引入洛伦兹变换.可惜NS方程的线化如同Paul 所说,会得到一个非常复杂的表达,作者一直没有能够把里面的可压缩因子分离出来,这里还恳请对Maxwell方程进一步非线性化的关心和指导.

参考文献

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11.粒子超(广义)非线性速度,时间的相对不对称效应和随体动力学公式 数学力学学报 杨文熊
12.高速粒子的质量守恒性 数学力学学报 杨文熊
13. Paul A.Murad,AIAA Peper 99-0562
14. Paul A.Murad,AIAA Peper 99-2606

Subject:The application of aerodynamic method in development of spatial relative theory.

Abstract:

From the similarity between Navier-Stokes equation and Maxwell equation, which lake one corresponds equation from whole 4 equations, an analysis is deduced, depend using the concept of relax effect of non-Newtonian viscose Fluid, the last missing equation is constructed. Through deduce give a concept to consider the Maxwell equation and NS equation as similar object but in different viewpoint. On this background discussed the equivalence between compressible wave equation and incompressible wave equation with Lorentz. By using the Kaman-Tsian virtual gas method, the relation of mass and energy of relativity theory is given. In the last a parallel viewpoint of Mr. Paul in AIAA Pepper 99-2606 and its defect is discussed.

   Due to the mass-energy relation can be used to gravity, so the theory will satisfy all the experiment till now have made to validate relativity theory.     

Keyword: NS equation, Relativity, Super light speed, relation of mass and energy,

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