物理科学探疑-网友天空-系统观点-夏烆光 -均匀引力场中物质的运动方程

均匀引力场中物质的运动方程

（撰文：夏烆光）

一 引    言

    按照辩证唯物主义的认识论：抽象的时间与抽象的空间，已经超越了具体物质的“存在形式”和“运动过程”，它们是抽掉了具体物质的个性（特殊性）之后，所留下的共性（普遍性）。所以说，把空间赋予了具体的“几何性质”的观点，在逻辑学中，是犯了把“普遍”沦为“特殊”的认识错误。再说，光同其他物质一样，都是具体的物质。光在引力场中的运动和其他物质在引力场中的运动一样，也都是具体物质在引力场中的运动。因此，我们决不应该根据光线在引力场中传播的几何特征，去认为抽象的时间和空间跟光线的传播一样，也具有几何特征。

    如果认识不到这一点，就是混淆了客观事物的“个性”与“共性”的严格界限。爱因斯坦的广义相对论，恰恰是在这一点上，也步入了歧途。因此，爱因斯坦的广义相对论，不仅与他的狭义相对论一样，存在着难以克服的逻辑谬误和概念错误，而且还因为他的认识论错误，导致了新的逻辑谬误。所以说，爱因斯坦的广义相对论也不是一个成熟的时空理论。随后的讨论将会看到，我们从根本对立的观点出发，利用微分几何原理导出的引力方程，比起爱因斯坦广义相对论所给出的引力方程来说，具有更加普遍的物理意义。

二    二阶微分邻域的不变矢量

    在《引力理论的数学基础》的前提下，我们设定：曲线上的动点M的流动径矢M(t)的坐标具有一阶和二阶的连续导数。于是，根据定义，曲线M = M(t)的动点M的二阶导数微分邻域是由展开式

                P = M + dM + d²M/2
来确定的。其中，

                dM =(dM/dt)dt
以及，
                d²M = (d²M/dt²)dt²

    大家知道，二阶微分邻域具有两个对于空间运动群的独立不变矢量，即：dM/dt和d²M/dt²。从它们当中，我们能够构成具有内蕴意义并且同参数t的选择无关的矢量。（参见《微分几何教程》，[苏] 芬尼可夫著，施祥林、徐家福译，高等教育出版社1954年7月第一版，第34—37页）

    必须承认，对于二阶导数d²M/dt²，用参数t代换时的变换法则要比一阶导数dM/dt的变换法则来得复杂。不过，微分几何提供了摆脱这种复杂问题的有效方法，即：选择和曲线不变地关联着的参数——弧长“s”——作为“特别参数”。因为，曲线的弧长s内蕴地和曲线相关联，因而对于这个参数的导数将有内蕴的意义。对于一阶导数，所给出的单位切矢量为：

                dM/ds = τ                                                 (1）

    把上式对于弧长s再微分一次，我们便得到：

                d²M/ds² = dτ/ds                                             (2）

    这里约定：在所考虑的所有点的导数dM/ds和d²M/ds² 都不等于0。 那么，任何一个不等于0的矢量都确定了一个方向，这个方向的特征可以用一个与它具有相同方向的单位矢量表示出来。与此同时，它也确定了某一个数量（纯量）——这个矢量的“模”。

    若是这个矢量具有内蕴意义，则该矢量的两个元素——它的正方向的“单位矢量”、和等于它的模的“纯量”之间便具有了内蕴意义。这里用“μ”表示二阶导数d²M/ds²的单位矢量，用k表示它的模，我们将有：

                dτ/ds = kμ                                                 (3）

    此处的k是曲线的第一个纯量不变式——二阶不变式。它的倒数ρ= 1/k，具有“曲率半径”的几何意义。与此相关的矢量μ，是继τ以后的第二个不变矢量。因为τ是单位矢量，根据矢量导数的特性——矢量的导数与这个矢量本身垂直，所以必有矢量μ垂直于矢量τ，即μ⊥τ。由于矢量τ是“切矢量”，而根据定义，任何垂直于切线的矢量都是“法矢量”，所以说，μ是法矢量。在空间中，对于一条直线，我们可以画出无数条垂线，这些垂线构成一个平面，叫做“法平面”。在法平面上，以切点为中心的全部垂线束，都是这条曲线的法线。在所有的法线当中，我们要选择出其中的一条μ——和曲线M(t)在给定点的二阶微分邻域之间内蕴地关联着的矢量。这条法线μ便叫做“主法线”。径矢对于弧长s的二阶导数d²M/ds²与曲线M(t)的主法线的方向相同。

三    相伴直角三面形与运动坐标系

    现在，我们已经有了两个和曲线内蕴地关联着的矢量，——切矢量τ和主法线矢量μ。显然，它们的矢积

           β = τ x μ                                                (4)

    也应当具有内蕴的意义。这里，|β| = 1，——这是因为两个因子都是单位矢量，并且它们之间互相垂直。根据矢积的性质，矢量β垂直于矢量τ和矢量μ。由于β垂直于切线τ，所以它确定了曲线的法线。但是，已经有了一条主法线矢量μ，因此，我们把这条法线称为“副法线”矢量。副法线矢量β垂直于主法线矢量μ，它的正方向这样地选择：使得三个矢量τ，μ，β和所选择的坐标系的三个坐标矢量i，j，k对应地配置着。

    不难看出，矢量τ和曲线M(t)的定向有关。当s的符号改变时，也就是说，当曲线上的正方向改变时，作为一阶导数的τ也改变方向。不过，作为二阶导数的μ，在这样的代换下，其符号是不改变的。因为，当s = - s^* 时，我们将有：

                dM/ds = - dM/ds^*

以及，

d²M/ds² = - d(- dM/ds^*)/ds^* = d²M/ds^*2

    所以，当改变曲线的正方向时，矢积(4）式改变符号。因此说，副法线β的方向同切线τ一样，也与曲线M(t)本身的定向有关。

    三个矢量τ，μ，β在所考虑的曲线M(t)上的任何一点M处确定了一个“直角三面形”。这个直角三面形随时地出现在所讨论的曲线上的点M处的n阶微分邻域内（n≥2）的全部问题中。——当这个M点移动时，这个直角三面形和M点同步地移动。所以，这个直角三面形被叫做“相伴三面形”。相伴三面形属于二阶微分邻域。所有在公共点处具有同样的“流动径矢”的一阶、和二阶导数的值的曲线，在这一点也具有共同的基本三面形。相伴三面形的三个基本面具有特别的名称：通过主法线和副法线的基本面垂直于切线，因此是曲线的“法平面”；通过切线和主法线的基本面称为“密切平面”；通过切线和副法线的基本面，称为“伸直平面”。它们的具体意义这里不作介绍，感兴趣者请参阅《微分几何教程》，（同上），第160—161页。

    这里我们需要特别着重地指出：跟随着动点M一起运动的这个直角三面形，就是我们在广义时空相对论中所定义的运动坐标系（包括着运动的观测者），在这个运动坐标系上的时间坐标，就是运动时钟的读数（t^*），而它的空间坐标（r^*），就是站在这个运动坐标系坐标原点“M”上的观测者，所记录地动点M从运动起点（静止系的坐标原点O）出发的移动距离。这个移动距离可以是一条直线，也可以是一条曲线。不管是直线还是曲线，对于站在动点M之上的观测者与站在动点M之外的任何观测者来说，都是完全等同的，即r≡r^*。——这里把动点M的坐标系中的物理量用“^*”表示，是为了同后面的导数符号“ ’”加以区别。

四 任意参数中的基本矢量

    如果曲线M被定义为弧长s的函数，如M = M(s)，由公式(1)、(2)、(3)、(4)，我们便可以简单地去计算基本矢量τ，μ，β。若是曲线是给定的参数t的方程M(t)，则问题就显得复杂了。为了寻求简单的计算途径，我们用基本矢量τ，μ来表达二阶导数d²M/dt²。不难看出，如果参数t代表着时间，则二阶导数d²M/dt²就是M点运动的加速度。把等式

                dM/dt = τds/dt                                             (5）

    对参数t微分，得：

d²M/dt² =τd²s/dt² + (dτ/dt)(ds/dt)                                 (6）

按着复合函数的微分法则，则有：

                dτ/dt = (dτ/ds)(ds/dt)

按着(3)式，引入dτ/ds，并将所得出的值代入等式(6)中，便可以得出：

                d²M/dt² =τd²s/dt² +μk(ds/dt)²                                 (7）

由此看来，加速度d²M/dt²可分成两个矢量，一个是切向加速度，另一个是法向加速度。

作二者的矢积：

        (dM/dt) x (d²M/dt²)= (τds/dt) x [τd²s/dt² +μk(ds/dt)²]             (8）

注意到二个平行矢量的矢积等于0，我们进行矢量的乘法运算，并注意到(4)式的关系，最后可以得出：

                (dM/dt) x (d²M/dt²)= k (τxμ) (ds/dt)³ = kβ (ds/dt)³                 (9)

可见，矢积(dM/dt) x (d²M/dt²)与单位副法线矢量β只相差一个纯量因子。

五     广义时空相对论意义下的参数变换

    现在，我们要用运动时钟的读数t^*来替换方程(7)。为此，把曲线的特别参数s写成如下的函数关系：

                s = s(t^*)                                                     (10）

    这里约定：一阶导数s’(t^*)是站在M点上的观测者，用运动时钟所得出地关于M点的绝对速度。这个速度可以是常数，对应着没有外力作用的保守体系；也可以是时间坐标t^*的函数，对应着外力作用引起的绝对速度的变化。这里还约定：运动是匀加速的。这样，我们把上式对t^* 微分两次，便得出：

                ds = s’(t^*)dt^*                                                 (11)

以及，

                d²s =[s’(t^*)dt^*]’dt^*= s’’(t^*)dt^*2                                     (12)

我们令，绝对速度：υ= s’(t^*)，以及，绝对加速度η= s’’(t^*)，于是，便可以得出：

                ds =υdt^*

以及，

d²s    =ηdt^*2                                                 (13）

    因为这里是“纯量”之间的微分运算，所以不必考虑绝对速度和绝对加速度的方向。并且，这里只限于讨论“绝对加速度”为常数时的情况。故而，将(11)和(13)同时代入(7)式，便可以得出：

    d²M/dt² = (ηdt^*2/dt²)τ+ k (υdt^*/dt)²μ                             (14)

    不难看出，上式等号右边的第一项代表M点的切向加速度，而第二项代表了法向加速度。等式左边的二阶导数d²M/dt²则是静止观测者、用静止的钟，所得出的曲线M(t)在任何一个动点M的相对加速度。在任何情况下，相对加速度都是切向加速度与法向加速度的合成结果。

六    引力场中物质运动的基本方程

（一）当绝对速度υ是常数时的曲线运动。按照广义时空相对论的观点：在相互作用传播速度有限性的前提下，运动系上的时钟、与静止系上的时钟，对于同一个运动的描写，所得出地时间读数t^*、和t之间不可能实现绝对地同步。因此，用不同的参变数t和t^* 来表示(7）式，其数学形式也就肯定不同。为了用具有纯量性质的参数t^* 来替换(7）式中现有的纯量参数t，让我们首先根据广义时空相对论的理论结果，写出运动时钟的纯量读数t^* 和静止时钟的纯量读数t之间的函数关系：

                dt^* =ξdt，或 dt^*/dt =ξ                                         (15)

其中，
                ξ= c/(c² +υ²)1/2                                             (16)

对于匀速曲线运动，绝对速度υ是一个常数，因此，不仅(14)式中的绝对加速度η= 0，而且ξ也是个常数。结果，(14)式右端第一项等于0。 由此而来，我们把(15)式代入(14)式便可以得出：

d²M/dt² = k[υ²c²/(c² +υ²)]μ                                     (17）

再把关系式
                V = cυ/(c² +υ²)1/2                                             (18）

代入上式，则有：

d²M/dt² = kV²μ                                             (19）

    我们用曲率半径ρ= 1/k代入上式，则有：

d²M/dt² = (V²/ρ)μ                                             (20）

    这就是熟知的“匀速圆周运动”的基本公式。这一结果表明：一个与外界没有任何联系的封闭系统，它的绝对速度υ是一个常数，它的运动轨迹则是一个圆周。当体系本身具有恒定的初速度υ0时，它的运动轨迹就是一条标准的螺旋线。

（二）     速度是匀加速运动时的物体系统。在这种情况下，按照(15)式，则有：

    dt^*2/dt² =ξ² = c²/(c² +υ²)                                     (21）

    将(21)式代入(14)式，并引入相对加速度符号a(t) = d²M/dt²，我们可以得出：

    a(t) =τηc²/(c²+υ²)+μkc²υ²/(c²+υ²)                             (22）

    利用相对速度V与绝对速度υ的关系，并注意到法向上的相对加速度V²/ρ=ω²ρ，ω为圆频率，上式改写成：

    a(t) = (ηV²/υ²)τ+ (ω²ρ)μ                                 (23)

    这就是在均匀外力的作用下物质运动的微分方程。如果把绝对加速度“η”当作重力加速度常数“g”（g = 980 mc/s²）理解，上式就是物质在地球所形成的引力场中相对运动的基本方程。

    在上式中，除第一项这个切向相对加速度外，还包括了主法线方向上的相对加速度，这一项代表着匀速圆周运动，同时也代表着圆频率为ω的一种“波动”。这一点，正是微观物质具有波动性内在原因。——由于微观粒子在前进的过程中，它的运动轨迹不是一条直线，而是绕着前进方向的公转、以及沿着自己的质心不停地自转所形成的“螺旋线”（类似于一个均匀的弹簧那样），所以才会造成：当微观粒子单独地通过“狭缝”时，就出现了波动的图象；而当多个微观粒子同时通过两条狭缝时，便会出现众所周知的“干涉条纹”。——这就是微观粒子的“波动性”与“粒子性”的统一解释，——即“波粒二象性”的统一解释。

七    结    论

    以上讨论可以看出，动点M的二阶微分邻域上的相伴三面形正是广义时空相对论所定义的带“星号”（或带撇）的运动系。对于同一个运动，站在带撇运动系上的观测者、使用运动时钟、得出的读数联系着动点M的绝对速度与绝对加速度。相反，站在静止系上的观测者，使用静止时钟、得出的读数，则联系着动点M的相对速度与相对加速度。这里，我们从根本对立的时空观念出发，得出了在均匀的引力场中物质相对运动的微分方程。并从理论上证明了物质“波粒二象性”的微观本质。因此说，这里所导出的引力方程比广义相对论的引力方程具有更为普遍的与更为明晰的物理意义。

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