物理科学探疑-网友天空-系统观点-夏烆光 -广义时空相对论在地球引力场中的应用1

广义时空相对论在地球引力场中的应用¹

（撰文：夏烆光）

本文是把广义时空相对论的基本观点和理论结果，应用到地球引力场中。也就是说，把广义时空相对论应用到：引力场是处处均匀的，并且可以用重力加速度常数g与时间t的乘积来表示自由落体运动的相对速度V等基本前提下。经过一定的数学推导，可以清楚地看出：物质在引力场中的运动规律与光线在引力场中的弯曲传播之间，并没有直接地因果联系；以及，爱因斯坦的等价原理是有“时空范围”限制的。因此说，爱因斯坦的广义相对论并非是唯一正确的关于引力的理论。

一    引    言

    按照辩证唯物主义的认识论，抽象的时间概念和抽象的空间概念已经超越了具体物质的存在形式和运动规律。因此说，抽象的时间和空间已经舍弃了物质的“个性”，而只剩下物质的存在形式和运动所具有的“共性”。不言而喻，光和其他物质一样，都是具体的物质。因此，光在引力场中的运动和其他物质在引力场中的运动一样，都是具体物质在引力场中的运动。所以说，我们决不应该根据光线在引力场中传播的几何特征，去认为抽象的时间和空间跟随着光线一样，也会具有几何特征。

    关于抽象的空间和时间没有几何特征的观点，就好象“人”这个概念没有肤色一样。显然，只有不同的“人种”才会有黄、白、黑等肤色之分。所以说，光线在引力场中的弯曲传播，并不能导致抽象时间和抽象空间具有弯曲的几何特征。如果认识不到这一点，就是混淆了客观事物的“个性”与“共性”之间的严格界限。

    当然，由于光是人类观测事物的媒介，所以，用光线去观测事物所得出的“映象”肯定会受到光线在引力场中传播特性的影响。这种影响同我们用不同类型的“透镜”拍摄同一个景物时所得出地“影象”总是有些偏离的情况颇有类似之处。不过，这里并不是说它们的原理是相同的。特别是，这种情况绝对不意味着“空间”——这种“代表着物质存在形式普遍性”的概念本身具有“几何性质”。

二 在地球引力场中的广义时空相对论

    不难看出，如果让我们把爱因斯坦用以说明“等价性假设”的“升降机”做成开敞式的，那末，在升降机自由下落时，升降机里的“观测者”和升降机外的“旁观者”就会得出两种不同的“观测结果”。比如，对于升降机内某个给定的点M来说，站在升降机里的观测者看来，该点是相对静止的；而站在升降机外的旁观者看来，该点是匀加速的自由落体运动。不过，由于升降机是开敞式的，所以，即便是处在升降机里的观测者也清楚地知道自己是在作匀加速的自由落体运动。按照广义时空相对论，间隔平方表示的仅仅是站在不同参考系上的观测者对于同一个事件（或质点）的运动观测结果的相对性。因此，无论这个运动事件（或质点）是一个匀速直线运动（惯性运动）、还是匀变速直线运动（匀加速运动）、亦或是随意的变速运动，间隔平方的定义都是相同的。这里考虑地是匀加速自由落体运动的情况，于是我们可以根据广义时空相对论关于间隔平方的定义分别地写出：

1、对升降机外的旁观者来说，M点的自由落体运动所经历的间隔平方为：

    ds² = c²dt² -(gtdt)²；                                         （1）    

2、对升降机内的观测者来说，M点的自由落体运动所经历的间隔平方为：

    ds’² = c²dt’² -(gt’dt’)².                                     （2）

    式中的g是重力加速度常数。上述ds²和ds’²的根本区别仅仅是由于观测者位置的改变造成的。于是我们可以根据“客观性原理”勒令：

    c²dt² - (gtdt)² ≡ c²dt’² -(gt’dt’)².                                 （3）

    由于升降机里观测者和M点是相对静止的，所以(gt’dt’)² = 0，从而可以得到：

     c²dt’² = c²dt² –(gtdt)².                                      （4）

两边同除c²dt²得：

dt’²/dt² = 1 – V²/c².                                         （5）

由上式得出：

dt’ = dt(1 – V²/c²)^1/2.                                     （6）

当自由落体运动时，

                                    （7）

将（6）两边同时乘以运动事件（或质点）的绝对速度υ(t’)，可以得出：

υ(t’)dt’ = [υ(t’)(1 – V²/c²)^1/2]dt.                              （8）

把上式的两边分别地在Δt’和Δt的时间间隔内求定积分，并考虑到ΔH’≡ΔH，则上式的左边可以写成：

                                     （9）

而右边可以写成：

                            （10）

再由（6）式得出：

                                    （11）

另由（7）式得出：V(t) = gt. 普遍的情况，我们可以根据不定积分的计算公式，把（10）式对于时间坐标t求积分，结果则有：

H =υ(t’)t[(1-g²t²/c²)^1/2 + arc sin(gt/c)]/2 + C.                  （12）

由（11）式得：

t’ = t(1-g²t²/c²)^1/2/2+(c/2g)arc sin(gt/c)+ C.                     （13）

显然，（12）式就是有引力场存在时，广义时空相对论的时间变换公式。当gt<< c时，则有gt/c → 0；于是可以近似地写出

t’ ≈ t

以及

υ(t’)≈ V(t) = gt.

于是（12）式化成：

H’ = H ≈ gt²/2.

这是熟知的伽利略自由落体运动的基本方程。

三 不同种类计算系的等价条件

    根据广义时空相对论：当两个物体系统相对作匀速直线运动时，只有站在运动事件（或质点）之上的观测者来描写该事件（或质点）的运动才不受光速传播有限性的影响，所得出的观测结果才与实际的运动距离完全一致。而站在运动事件（或质点）以外的旁观者，由于受信号传播有限性的影响，所得出的观测结果总是与实际运动距离之间存在着观测误差。在普遍的情况下，所得出的间隔平方将大于或等于零（ds² ≥ 0）。——如果两个事件（或质点）相对运动的速度小于光速，则间隔平方大于零（ds² > 0）；如果运动事件的绝对速度刚好等于光速，站在运动事件之上的观测者所得出的间隔平方等于零（ds² = 0）；而站在运动事件之外的旁观者所得出的间隔平方仍然大于零（ds² > 0）。无论两个事件之间的运动是匀速直线、还是匀变速、亦或是变速运动，间隔平方的定义都是完全相同的。

    可是，按照“惯性坐标系统”的定义，时间具有“绝对的瞬时性”。在绝对同时性的时间观念下，只要运动事件的相对速度等于光速，间隔平方就一定等于零（ds² = 0）。由此而论，只要两个不同种类的坐标系统都能满足间隔平方等于零（ds²=0）这一条件，就可以认为这两个坐标系统是等价的。

    在这里，我们讨论地是引力场中物质的相对运动。在引力场中，由于引力势的作用，将导致两个物体系统之间的相对速度随着时间的推移而不断增加。从理论上说，这种不断加速的最终结果可以等于光的绝对速度。当然了，事实上这是难以达到的。这里的考虑不过是，假如相对速度的极限达到了光速，就意味着加速运动已经到达了极端状态。我们说，只要物体在引力场中加速运动的结果不超过光速，那末，广义时空相对论关于间隔平方的定义就是有效的。正如上面指出的那样，间隔平方等于零（ds² = 0）的情况刚好等价于惯性坐标系统的情况。因此说，当引力场存在时，间隔平方等于零就成为加速计算系和惯性计算系之间的“等价条件”。所以，如果加速系与惯性系等价，就必定有：

    ds₀² = c²dt² -(gtdt)² = 0.                                     （14）

    由上式可以得出：

                                     （15）

    我们把这个时间间隔Δt定义为加速系与惯性系之间的“等价时限”。它的含义是：只有在限定的时间范围之内，加速计算系才能与惯性计算系相互等价。

    相比之下，在没有引力场存在时，对于站在运动事件之外的观测者来说，只要有运动存在，就一定有：

    Δs₀² = c²Δt² - V²Δt² >0.                                      （16）

    因而，根本没有等价时限的概念。可是在引力场中，由于升降机自由降落的相对速度（V）乃是时间（t）的函数，所以当且仅当V(t)² < c²时，才能保证Δs₀² > 0。道理很简单，若是不能够保证这一点，光速也就不是宇宙中物质运动的极限速度了，那末“光”也就没有“资格”作为人类观测事物的媒介了。

    现在，我们以地球的引力场为例来说明这个问题。为此，用g = 981厘米/秒²代入（15）式，就可以求得等价时限Δt = 3.05596 x 10⁷秒（大约等于354天）。这个数据表明，站在地球上的观测者，虚拟地假设，我们把重力加速度g看成是一个常数的话，那末只要自由落体运动持续加速的时间过程不超过Δt（≤3.05596x10⁷秒），它的末速度就不会超过光速，因而就可以利用惯性计算系来代替加速计算系。另一方面，从（15）式还可以看到，如果重力加速度g →0的话，等价时限就会趋于无穷大，这就意味着取消了等价时限。g →0，也就是引力势趋于零，运动将恢复到在自由时空中进行。

四 爱因斯坦广义相对论的等价原理

    由于自由落体运动的相对速度V(t)是时间的函数，促使爱因斯坦去建立他的广义相对论。为了建立广义相对论，爱因斯坦提出了一个“等价原理”，——惯性质量与引力质量是等同的。“爱因斯坦说，我们有两个计算系：一个是固结在地球上的惯性系（或接近惯性系），另一个是固结在升降机上的加速系。在第一个惯性计算系中，引力场是存在的；而在另一个加速系中，引力场是不存在的。按照爱因斯坦的观点，加速度可以代替引力，或者至少可以替代均匀的引力场。爱因斯坦把这种思想又向前发展一步。他认为在物理上，可以认为这两个计算系（加速的和非加速的）是完全平权的；他并且指出，根据这样的观点，惯性参考系和绝对加速度的概念失去了意义²。”

    与爱因斯坦的做法截然不同，这里并没有提出任何新的原理，而只是指出：不管引力场存在与否，只要能够满足于Δt ≤c/g，广义时空相对论就能够成立。而Δt ≤ c/g，只是满足于间隔平方定义的基本条件。因此说，均匀引力场的存在，只不过是广义时空相对论的一个特例。诚然，我们接受“惯性质量与引力质量是等同的”这一客观事实。可是，却难以接受关于“加速计算系与惯性计算系是等价的”这一说法。不过有一点是肯定的，那就是：爱因斯坦关于“惯性参考系和绝对加速度的概念失去了意义”的观点还是有道理的。

    单纯地从这一点上考虑，我们可以保留爱因斯坦的等价原理。但需要指出：爱因斯坦的等价原理在使用上是有时间（或空间）限制的。由等价时限可以计算出爱因斯坦等价原理成立的时间（或空间）范围。假如在给定的范围内只有地球的引力场而没有其他的引力场存在，在假定了地球的引力场是到处均匀的前提下，爱因斯坦等价原理成立的空间范围（R）就可以粗略地写成

R =gt²/2=981x(3.05596x10⁷)²/2=4.5807x10¹⁷（厘米）。

显然，这个尺度相对于天文尺度来说是微不足道的。尽管这个计算结果是粗糙的，但却具有重要的物理意义。这件事足以表明：加速计算系只是在有限的空间范围上才能等价于惯性计算系。而且，范围越小，其精确度就越高。可见，爱因斯坦关于“加速计算系与非加速（即惯性）计算系是完全平权的”断言也是不确切的！！

五    结    论

    总而言之，通过以上讨论可以清楚地看出：物质在引力场中的运动规律与光线在引力场中的弯曲传播之间，并没有直接地联系。以及，爱因斯坦的等价原理是有“时空范围”限制的。因此说，爱因斯坦的广义相对论并非是唯一正确的关于引力的理论。

参考文献
   
1：《广义时空相对论》夏烆光著，北京，人民交通出版社，2003年1月第一版，§19。
    2：《空间·时间·和引力的论》B·A 福克著，周培源，朱家珍，蔡树棠等译，北京，
科学出版社，1965年7月第一版，第288页。

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