引力理论的数学基础

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引力理论的数学基础

（撰文：夏烆光）

一引言

我们说，广义时空相对论的数学基础是微分几何。然而，微分几何在应用于广义时空相对论时，有一点是需要修正的。诚如所知，为了选择与曲线M(t)有内蕴关联的“特别参数”，微分几何学引入了“流动径矢对特别参数s的导数具有等于1的模”这样的一个先决条件。(参见《微分几何教程》，[苏] 芬尼可夫著，施祥林、徐家福译，高等教育出版社1954年7月第一版，第42页)。依据这个条件，微分几何学就把关系式dt/dt^* =φ’(t^*)>0中的变数“t^* ”，用特别参数——弧长“s”——来加以替换，即令t^* = s。可是，正是这种直接地替换，给所讨论的问题带来了弊端。当然，如果仅仅是在研究抽象的几何问题，这是不成问题的。可是，如果我们把微分几何运用到实际的物理问题中，譬如说，把参变数t^* 看成是“运动系的时间坐标”，那末，问题就表现出来了。因为，特别参数s是个长度的概念，——对应的“量纲”是“空间”的度量单位；而参变数t^* 是个时间概念，——对应的“量纲”是“时间”的度量单位。空间的度量单位与时间的度量单位，本来是两种根本不同的物理量。如果直接用空间的度量单位去代替时间的度量单位，势必造成概念的混淆。纠正这个问题的措施是：首先引入绝对速度（υ），然后把特别参数“s”定义成运动系上的时间坐标t^* 与其绝对速度υ的乘积，即s=υt^*。这样一来，就顺理成章地导出了广义时空相对论的变换公式，从而使微分几何有了更加直观的物理意义。

二关于直线段的测量

大家知道，在《微分几何学》中，为了度量直线段AB的长度，一般地做法是，在其上由A点开始截取一个“单位长度”（例如米）、或者单位长度的某个部分——1/m若干次（如：分米厘米等），使得点B与第n个所放置的部分线段的终点重合，或者在最后的第（n + 1）个部分中，线段AB等于、或大于单位长的（1/m）的n倍。也就是说，n/m < AB < (n + 1)/m。把所放置的度量线段缩短，即改变度量单位，便可以求出AB的长度到任意精确的程度。但是，我们必须看出，这个测量方法对于“曲线弧”是不适用的。——由于电脑字符的关系，这里用“（AB）”来表示曲线的弧长。不难理解，我们根本不可能在曲线弧上放置单位长度的“直线段”的任何一个部分来进行一个有限弧长的度量。（参见《微分几何教程》，同上，第43页）

三关于曲线段的测量

基于上述，测量弧线（AB）长度的做法只能是：首先假定它的总长度已经确定（参见《微分几何教程》，第43—45页）。一般地说，我们求取一条弧线的长度，可以在不改变它的长度的前提下，来改变它的形状，即：把这条弧线加以伸直。假若曲线是由方程M = M(t)所给定的，并且，函数M(t)在闭区间a ≤t≤b以内具有连续的一阶导数M’(t)，那么，满足于弧长定义的要求可以分为以下两种情况：

（一）关于点A到点B曲线段的弧长。

其中，t = a对应于点A，和t = b对应于点B的弧线AB的每个点在一一对应中可以建立起一个单值连续、且单调递增的函数关系，即：

s = f(t) （1）

这个函数关系确定了由点A到动点B的弧长(AM)、并且在t = a时为0。

（二）弧长与弦长的比例关系。

这里的第一个要求是：设一个弧（MM₁）与弦长MM₁，当动点M₁无限地趋近于不动点M时，应有：

(MM₁)/MM₁ = 1 （2）

这里的第二个要求是：具有连续转动切线的曲线小弧的长度与它所张的弦长相差甚小。不难证明，具备了这些要求之后，函数f(t)便完全地确定了。

首先我们来注意：由点M(t)到点M1(t+Δt)的弧长等于函数（1）的对应值的差：

(MM₁)=Δs= f(t +Δt) - f(t)
弦MM₁的长等于矢量：
₁= M₁–M = M(t +Δt)- M(t)

的模，或等于矢量

₁ = iΔx + jΔy + kΔz

的模。而这个模本身是：
| ₁|= (Δx² +Δy² +Δz²)1/2
由此，式（2）可以写成：
(Δs/(Δx²+Δy²+Δz²)^1/2 =1

把上式的分子和分母同时除以Δt，则有：

{(Δs/Δt)/[(Δx/Δt)² + (Δy/Δt)² + (Δz/Δt)²]^1/2} = 1

设空间坐标x，y，z对于时间t的导数x’ ，y’ ，z’ 存在，则上式分母的极限便存在。于是，我们便可以把上式改写成导数的形式，即：

ds/dt = (x’² +y’² + z’²)^1/2 （3）

既然确定了弧线(AM)长度的函数（1）在点t = a处为0，那末，这个弧长(AM)将由积分

s = (AM)= (x’² + y’² + z’²)^1/2 dt （4）

来确定。若空间坐标对于时间t的导数x’ ，y’ ，z’ 在区间（a，t）上连续，则积分一定存在。

这里需要指明：可以引入弧长概念的曲线，称为“可度曲线”。于是，我们说：若流动坐标是参数t的连续函数，且具有一阶连续导数，则曲线是可度的；并且能够使曲线上的径矢对s的导数变为“单位矢量”的特别参数（s），则是曲线的从其任意的（是确定的）位置上所选择的计算始点起始的弧长，或者和这个弧长仅仅相差一个常数项。

四曲线的参变数表示

由正则曲线段的定义可得出一个推论：径矢由方程

M = M(t) （5）

所定义的点M的轨迹在区间为a < t < b中表示一正则线段的条件是函数M(t) 在区间中连续，并且具有在这个区间内不为0的连续的一阶导数，即：

dM/dt ≠ 0 （6）

（参见《微分几何教程》，同上，第38—39页）。

实际上，方程（5）可以分解为关于矢量M的三个空间坐标的三个方程，即：

x =φ(t)，y =Ψ(t)，z = X(t) （7）

或者，
dM/dt= iφ’(t) + jΨ’(t) + kX’(t)

因此，导数模的平方

(dM/dt)² =φ’² +Ψ’² + X’²

在条件（6）的情况下不为0。若t = a对应于点A，t = b对应点B，则同开区间（a，b）内的每一个数值t相对应的是弧（AB）上的一个点；反之，与弧（AB）的一个点相对应的可能有区间（a，b）内参数t的若干个数值。假若在线段a≤t≤b上的每个数值t对应于弧（AB）的一个点，并且弧（AB）的每一个点只对应线段AB上的一个数值t，由方程式（5）所定义的弧（AB）将为简单曲线弧。当参数t由a变至b时，对应点M依单一的方向经历简单弧（AB）仅一次，这个方向称为曲线的正方向，它和参数t的选择有关。

若是用方程

t =φ(t^*) （8）

来引入一个新参变数t^*来表示t，其中φ(t^*)在对应于正则区间a < t< b的区间a^* < t^* < b^*内为连续可微函数，那么，据复合函数的微分法则，便可以得出：

dM/dt^* = (dM/dt)φ’(t^*) （9）

其中，我们令φ’(t^*) = dt/dt^*来作为函数φ(t^*)对于时间t^* 的一阶导数，且在a^* <t^* < b^* 这个区间上，函数φ(t^*)具有连续的正值导数，即：

φ’(t^*) > 0 （10）

顺便说一句，这里我们不讨论导数φ’(t^*)<0 的情况。不过，一般地来说，在物理问题中，也不会出现φ’(t^*)<0的情况。

五不变量弧长选作特别参数

表明导数dM/dt变化法则的公式（9），在上述条件（8）式和（10）式的情况下，使我们可以选择与曲线M(t)有内蕴关联的“特别参数”（参见《微分几何教程》，同上，第42—43页）。因此，我们来研究：参数的代换只改变导数的“模”。也就是说，使它的模乘上一个等于导数的正数值，即乘上dt/dt^* =φ’(t^*) > 0。在适当的条件下，函数关系式（8）和（10）的导数可以具有逐点连续改变着的、且不等于零的任何正值。因此，我们适当地选择参数，便可以把给定点的导数dM/dt^*的模化为任意的正数，并且在线段a ≤ t ≤ b上，使这一正数等于t的任意的连续正值函数。由此，便可以依据“流动径矢对于特别参数s的导数具有等于1的模”这个先决条件，即依据

|dM/ds| = 1 （11）

来引入特别参数“s”。这样一来，我们就可以用τ来表示“单位切矢量”，于是便有：

dM/ds =τ （12）

对于任何的dM/ds，只要t和s之间存在着函数关系且连续可微，总可以写出：

dM/ds = (dM/dt)(dt/ds) （13）

把上式两边同时平方，并根据（11）式，得出：

(dM/dt)²(dt/ds)² = 1 （14）

从而得出：

(ds/dt)² = (dM/dt)²

因而，
                ds/dt = |dM/dt|                                                 （15）
也就是：
                ds/dt = dM/dt= ix’ + jy’ + kz’                                     （16）
或者写成：
                ds/dt = (x’² + y’² + z’²)^1/2                                         （17）
若矢量M的坐标（x，y，z）具有对于变数t的连续导数x’，y’，z’ 存在，那末，根据条件（11），在线段（a，b）上便可以确定特别参数“s”。

和微分几何的传统做法不同的是，这里令特别参数

s =υt^* （18）

关于常系数“υ”的物理意义，我们随后再作说明（参见《微分几何教程》，第42—43页）。这里先对上式进行微分，便可以得出：

ds =υdt^* （19）

将上式代入（17）式得：

ds/dt =υdt^*/dt = (x’² + y’² + z’²)^1/2 （20）

由此而得出：

dt^*/dt = (x’² + y’² + z’²)^1/2/υ （21）

现在，我们再回过头来说明（18）式中的常系数“υ”的物理意义。这里先假定υ是一个常数。我们说：这个常系数υ代表着站在运动事件上的观测者、使用运动时钟、所得出地自己离开静止系坐标原点的运动的绝对速度，即υ= s/t^*，——不管这个运动事件的轨迹s是一条直线，还是一条曲线，情况都是如此。毫无疑义，这个绝对速度υ本身的大小，仅与这个力学体系（即运动事件）的力学量有关。

六广义时空相对论的速度变换公式

如果我们把上述的参数t^*作为“运动的钟”的读数，而把参数t作为“静止的钟”的读数，那末，根据辩证唯物主义的时空观念，我们可以得出：

dt/dt^* =φ’(t^*) = 1/ξ= (c² +υ²)^1/2/c （22）

由导数的定义：

x’=dx/dt = Vx，y’ = dy/dt = Vy，z’ = dz/dt = Vz （23）

又可以写出：

(x’² + y’² + z’²)^1/2 = (Vx² + Vy² + Vz²)^1/2

其中，Vx，Vy，Vz分别地代表着相对速度矢量“V ”的三个空间分量。

由此，我们把（21）改写成：

dt/dt^* =φ’(t^*) =υ/(x’² + y’² + z’²)^1/2 （24）

再由（22）式得：

ξ= c/(c² +υ²)^1/2 = (x’² + y’² + z’²)^1/2/υ （25）

其中，

V = (x’² + y’² + z’²)^1/2

是相对静止观测者、用静止时钟、所得出的这一运动事件的“相对速度”。最后，我们由（25）式得出：

V = cυ/(c² +υ²)^1/2 （26）

显然，这个关系式正是广义时空相对论的速度变换公式。

七结论

基于以上讨论，我们说：在物理问题中，由于特别参数s代表着弧长，而参变数t^* 代表着运动的钟的读数，所以它们根本不可以划等号，而只能是成比例。其比例系数υ就是一个给定力学体系的绝对速度。这个速度只能与该体系的力学量有关。只要体系确定之后，绝对速度υ就是一个常数。出于这样地考虑，我们不仅导出了广义时空相对论的速度变换公式，而且给微分几何学赋予了鲜明的物理意义。相反，如果不考虑特别参数在实际问题中的物理意义，那么，所构成的微分几何理论，就只有在纯粹的微分几何学中才是无条件地有效的。

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